고등수학 계산기 — 벡터·행렬·수열 계산

고등수학 계산기는 한국 고등학교 수학과 대학수학(선형대수학) 범위의 벡터 연산, 행렬 계산, 수열 계산을 지원합니다. 2022 개정 교육과정의 기하 과목(벡터·이차곡선)과 수학Ⅰ(수열) 범위를 다룹니다. 벡터의 내적·크기·코사인 각도, 2×2 행렬의 행렬식과 역행렬, 등차·등비수열의 일반항 및 합을 빠르게 계산할 수 있습니다.

벡터의 기초 개념

벡터(vector)는 크기와 방향을 함께 갖는 수학적 객체입니다. 스칼라(scalar)는 크기만 있습니다. 벡터 A = (a₁, a₂, a₃)는 3차원 공간에서의 방향과 크기를 나타냅니다. 벡터의 크기: |A| = √(a₁²+a₂²+a₃²). 단위벡터: 크기가 1인 벡터, û = A/|A|. 내적(dot product): A·B = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ = |A||B|cosθ. 두 벡터가 수직이면 내적 = 0. 외적(cross product): A×B는 A, B에 모두 수직인 벡터를 반환합니다(3차원 전용). 벡터는 물리학(힘·속도), 컴퓨터 그래픽스, 머신러닝에서 광범위하게 활용됩니다.

행렬 연산의 기초

행렬(matrix)은 수를 직사각형 배열로 표현한 수학 구조입니다. 2×2 행렬 A = [[a,b],[c,d]]. 행렬 덧셈: 같은 위치의 원소를 더합니다. 행렬 곱셈: A×B에서 (i,j) 원소 = A의 i행과 B의 j열의 내적. 행렬식(determinant) det(A) = ad−bc: 행렬이 나타내는 선형 변환의 면적 비율. 역행렬: det(A)≠0이면 A⁻¹ = (1/det)[[d,−b],[−c,a]]. 연립방정식 AX = B의 해: X = A⁻¹B. 단위행렬 I: 주대각원소가 1, 나머지 0인 행렬.

수열 — 등차·등비·점화식

수열(sequence)은 규칙에 따라 나열된 수의 열입니다. 등차수열: 공차 d가 일정한 수열. 일반항 aₙ = a+(n−1)d, 합 Sₙ = n(2a+(n−1)d)/2. 등비수열: 공비 r이 일정한 수열. 일반항 aₙ = a·rⁿ⁻¹, 합 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1). 점화식: aₙ₊₁ = f(aₙ)으로 다음 항을 정의하는 수열. 예: 피보나치 수열 aₙ₊₂ = aₙ₊₁+aₙ, a₁=a₂=1. 수열의 합 Σ기호: Σk=1 to n k = n(n+1)/2, Σk² = n(n+1)(2n+1)/6.

행렬과 연립방정식 풀기

연립방정식은 행렬로 표현하여 역행렬로 풀 수 있습니다. 예: {2x+y=5, x+3y=7}. 행렬 A = [[2,1],[1,3]], B = [5,7]. det(A) = 6−1 = 5. A⁻¹ = (1/5)[[3,−1],[−1,2]]. X = A⁻¹B = [(15−7)/5, (−5+14)/5] = [8/5, 9/5]. 가우스 소거법(행 연산)을 이용하는 방법도 있습니다. 크래머 공식: x = det(Aₓ)/det(A), y = det(Aᵧ)/det(A). 행렬은 머신러닝·딥러닝에서 데이터 표현과 연산의 핵심 도구입니다.

등비수열의 무한급수 수렴 조건

무한 등비급수 Σ(n=1 to ∞) arⁿ⁻¹는 |r| < 1일 때 a/(1−r)으로 수렴합니다. |r| ≥ 1이면 발산합니다. 예: 1+1/2+1/4+1/8+... = 1/(1−0.5) = 2. 무한 등비급수의 응용: 제논의 역설(아킬레스와 거북이), 순환소수 변환(0.333... = 1/3 = Σ 3/10ⁿ), 수열의 극한을 이용한 넓이 계산. 수능 수학Ⅰ에서 등비급수의 수렴·발산 판별과 무한급수 합 계산이 자주 출제됩니다.

벡터와 직선·평면의 방정식

벡터를 이용하면 3차원 공간에서 직선과 평면의 방정식을 표현할 수 있습니다. 직선: 점 P₀와 방향 벡터 d를 이용하여 P = P₀ + td (t는 매개변수). 평면: 점 P₀와 법선 벡터 n을 이용하여 n·(P−P₀) = 0 → n₁(x−x₀)+n₂(y−y₀)+n₃(z−z₀) = 0. 점과 직선 사이의 거리, 점과 평면 사이의 거리도 벡터 공식으로 유도됩니다. 두 직선의 교점, 교선, 이루는 각도 등 기하학적 관계를 벡터로 체계적으로 분석할 수 있습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)