수학 계산기 — 사칙연산·제곱근·절댓값·거듭제곱 종합
수학 계산기는 기초 수학 연산부터 제곱근, 거듭제곱, 절댓값, 최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM), 소수(Prime) 판별까지 다양한 수학 계산을 한 곳에서 처리할 수 있는 종합 도구입니다. 초등학교~중학교 수준의 수 개념부터 약수·배수, 소인수분해, 유리수·무리수 계산까지 지원합니다. 학교 수학 숙제, 빠른 계산 확인, 개념 복습에 활용하세요.
수학 계산기는 사칙연산(+−×÷), 제곱근(√), 거듭제곱(^), 절댓값(|x|), 최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM), 소수 판별 등 기초 수학 연산을 지원합니다.
Gyesan-gi · 수학 계산기 · 수학 계산기 계산기
계산 공식
제곱근: √x = x^(1/2)
거듭제곱: a^n = a×a×...×a (n번)
최대공약수: GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) (유클리드 호제법)
최소공배수: LCM(a,b) = a×b ÷ GCD(a,b)
소수 판별: 2부터 √n까지 나누어지는 수가 없으면 소수GCD는 유클리드 호제법, 소수 판별은 시험 나눗셈법 적용.
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM) 계산
최대공약수(GCD, Greatest Common Divisor)는 두 수의 공통 약수 중 가장 큰 수입니다. 유클리드 호제법: GCD(a,b) = GCD(b, a mod b), GCD(a,0) = a. 예: GCD(48, 18) → GCD(18, 12) → GCD(12, 6) → GCD(6, 0) = 6. 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수입니다. LCM(a,b) = a×b ÷ GCD(a,b). 예: LCM(48, 18) = 864 ÷ 6 = 144. GCD와 LCM은 분수 계산(통분·약분), 주기 계산(두 사이클이 동시에 겹치는 시점) 등에 활용됩니다.
소수(Prime Number)와 소인수분해
소수(Prime Number)는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 자연수입니다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... 최소 소수는 2(유일한 짝수 소수). 소인수분해는 자연수를 소수의 곱으로 표현하는 것입니다. 예: 360 = 2³×3²×5. 소인수분해 알고리즘: 2부터 시작하여 차례로 나누어 소인수를 찾습니다. 소수는 암호학(RSA 암호화)의 핵심 기반입니다. 현재 알려진 가장 큰 소수는 2024년 기준 약 2^1억 2,577만 5,643 − 1 (Mersenne prime)입니다.
제곱근과 무리수
제곱근 √x는 x = a²가 되는 양수 a입니다. √4 = 2, √9 = 3, √2 ≈ 1.41421356...(무리수). 무리수(irrational number)는 분수로 나타낼 수 없는 실수로, 소수 표현이 무한히 비반복적으로 계속됩니다. √2, √3, π, e가 대표적입니다. 제곱근 계산법: √(a×b) = √a×√b, √(a/b) = √a/√b. √2의 유리수 근사: 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142... 연분수 전개로 점점 정확해집니다. 피타고라스 정리 a²+b²=c²에서 대각선 계산에 제곱근이 필수입니다.
분수 계산: 약분·통분·사칙연산
분수 덧셈·뺄셈은 분모를 통분(LCM으로 맞춤)한 후 분자끼리 계산합니다. 예: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. 분수 곱셈: 분자끼리, 분모끼리 곱합니다. 1/3 × 2/5 = 2/15. 분수 나눗셈: 나누는 분수의 역수를 곱합니다. 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. 약분: GCD로 분자·분모를 나누어 기약분수로 만듭니다. 대분수 ↔ 가분수 변환: 2와 3/5 = 13/5. 분수 계산은 비율·확률·속도 계산의 기초입니다.
거듭제곱과 지수 법칙
거듭제곱 aⁿ = a×a×...×a (n번). 지수 법칙: aᵐ×aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁰ = 1(a≠0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ. 2의 거듭제곱: 2¹⁰ = 1,024, 2²⁰ = 1,048,576, 2³⁰ ≈ 10억. 컴퓨터 메모리: 1KB = 2¹⁰B, 1MB = 2²⁰B, 1GB = 2³⁰B. 지수 법칙은 과학 표기법(scientific notation), 화학 몰(mol) 계산, 반감기 계산 등에 활용됩니다.
수 체계: 자연수~복소수 계통
수의 확장 계통: 자연수(1,2,3,...) ⊂ 정수(...,-1,0,1,...) ⊂ 유리수(p/q, q≠0) ⊂ 실수(유리수+무리수) ⊂ 복소수(a+bi). 자연수: 셀 수 있는 양의 정수. 정수: 자연수에 0과 음수 추가. 유리수: 두 정수의 비로 표현 가능한 수(유한소수·순환소수). 무리수: 유리수가 아닌 실수(√2, π, e). 복소수: 실수부와 허수부(i²=−1)로 구성. 각 수 체계는 이전 체계의 연산 한계(음수, 나눗셈, 무한소수, 음수의 제곱근)를 해결하기 위해 확장됩니다.
참고 자료 및 공식 출처
- 교육부 — 초·중등 수학과 교육과정 2022 개정 (moe.go.kr)
- 대한수학회 — 수학 용어·개념 사전 (kms.or.kr)
자주 묻는 질문 (FAQ)
GCD(36, 24)는 얼마인가요?
유클리드 호제법: GCD(36,24)→GCD(24,12)→GCD(12,0)=12. LCM(36,24) = 36×24÷12 = 72.
360을 소인수분해하면?
360 = 2³×3²×5입니다. 360÷2=180, 180÷2=90, 90÷2=45, 45÷3=15, 15÷3=5, 5는 소수.
√2는 왜 무리수인가요?
√2 = p/q(기약분수)로 가정하면 2q² = p²이 되어 p가 짝수, 그러면 q도 짝수가 되어 기약분수 가정에 모순이 생깁니다. 이를 귀류법이라 합니다.
2¹⁰은 얼마인가요?
2¹⁰ = 1,024입니다. 2¹⁰ ≈ 10³ = 1,000으로 근사하기도 합니다.
분수 3/4 + 5/6은 얼마인가요?
LCM(4,6)=12. 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12. 합 = 19/12 = 1과 7/12.
0은 소수인가요?
아닙니다. 소수는 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만으로 나누어지는 수입니다. 0은 정수이지만 소수·합성수 정의에 해당하지 않습니다.